Вправи: 450

450. Доведіть теорему про властивості середньої лінії трапеції, скориставшись малюнками 190 — 192 (MN – середня лінія).

Мал.190

За теоремою про середню лінію трикутника маємо

МЕ = 12ВС, EN = 12AD, тодi MN = ME + EN = 12BC + 12AD = BC+AD2.

Мал. 191

Проведемо CF ∥ AB, тоді ABCF — паралелограм, AF = ВС, CE = EF,

EN — середня лінія трикутника FCD.

MN = ME + EN = BC + 12FD = BC + 12(AD – AF) = BC + 12AD – 12BC = 12AD + 12BC = AD+BC2.

Мал.192

Проведемо EF ∥ AB, тоді ABEF — паралелограм, BE = AF.

∆CNE = ∆DNF (за стороною і двома прилеглими кутами: CN = DN — за умовою, ∠CNE = ∠DNF — як вертикальні, ∠ECN = ∠FDN — як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній CD), тоді EN = FN і СЕ = DF.

MN = 12(ВЕ + AF) = 12(BC + CE + AD – FD) = 12(BC + CE + AD – CE) = 12(BC + AD).