Вправи: 216

216. На діагоналі AC паралелограма ABCD позначено точки K і M так, що ∠AKB = ∠CMD. Доведіть, що KBMD – паралелограм.

ABCD — паралелограм. AB ∥ CD; АС — січна, тому ∠BAK = ∠DCM, за умовою ∠BKA = ∠CMD. У ∆АВК: ∠ABK = 180° – ∠BAK – ∠BKA.

У ∆CDM: ∠CDM – 180° – ∠DCM – ∠CMD.

Оскільки ∠BAK = ∠DCM і ∠BKA = ∠CMD, то ∠ABK = ∠CDM.

∆BAK = ∆DCM, бо AB = CD; ∠BAK = ∠DCM і ∠ABK = ∠CDM.

3 рівності трикутників: BK = MD.

∠BKM = 180° – ∠BKA; ∠DMK = 180° – ∠DMC (суміжні кути).

Оскільки ∠BKA = ∠DMC (за умовою), то ∠BKM = ∠DMK, але ∠BKM і

∠DMK — внутрішні різносторонні при прямих BK, DM і січній AC.

У чотирикутнику KBMD ВК = MD і ВК ∥ MD, тому KBMD паралелограм.