Вправи: 219

219. Якщо вершини протилежних кутів чотирикутника однаково

віддалені від відповідних діагоналей, то такий чотирикутник —

паралелограм. Доведіть.

ABCD – чотирикутник.

BD — діагональ. AM ⊥ BD; СР ⊥ BD; АМ = СР; ВК ⊥ AC; DZ ⊥ АС;

ВК ∥ DZ (як два перпендикуляра до однієї прямої).

BD — січна, тому ∠KBO = ∠ZDO (внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВК, DZ і січній BD).

∠BKO = ∠DZO = 90°; BK = DZ (за умовою). Звідси ∆ВКО = ∆DZO. З рівності трикутників: BO = OD. Аналогічно: ∆АМО = ∆СРО. З рівності цих трикутників АО = CO.

У чотирикутнику ABCD діагоналі точкою О поділилися навпіл. Отже,

ABCD — паралелограм.