Вправи: 104

104. Доведіть, що в чотирикутнику ABCD (мал. 24) діагоналі AC і BD — перпендикулярні, якщо AB = CB i DA = DC.

AB = ВС; AD = CD (за умовою).

BD — спільна сторона ∆ABD і ∆CBD.

Звідси ∆ABD = ∆CBD.

З рівності трикутників маємо ∠ABD = ∠CBD.

АС і BD перетинаються в т. О.

∆АВО= ∆СВО (І ознака); АВ = СВ (за умовою); ∠ABD = ∠CBO (доведено вище); ВО — спільна сторона. З рівності ∆АВО і ∆СВО: ∠AOB = ∠COB, але ∠AOB + ∠COB = 180° (суміжні кути).

Звідси ∠AOB = 90°, ∠COB = 90°. Тобто АС ⊥ BD.