Вправи: 93

93. На сторонах паралелограма ABCD (рис. 39) відклали рівні відрізки AM, BK, CE і DF. Доведіть, що чотирикутник MKEF — паралелограм.

За умовою АВСD — паралелограм. За ознаками паралелограма маємо АВ = СD, ВС = АD (протилежні сторони) і ∠А = ∠С, ∠В = ∠D (протилежні кути). Нехай АВ = а, тоді СD = а.

Нехай ВС = b, тоді АD = b.

За умовою АМ = ВК = СЕ = DF.

Нехай АМ = х, тоді ВК = х, СЕ = х, DF = х. За аксіомою вимірювання

відрізків маємо: МВ = АВ – АМ, МВ = а – х. КС = ВС – ВК, КС = b – х.

DЕ = DС – СЕ, DЕ = а – х. АF = АD – DF, АЕ = b – х. Звідси маємо:

МВ = DЕ = а – х, КС = АF = b – х. Розглянемо ∆АМF і ∆СЕК.

1) АF = КС; 2) АМ = СЕ; 3) ∠А = ∠С.

За І ознакою рівності трикутників маємо ∆АМF = ∆СЕК.

За властивістю рівних фігур маємо: МF = КЕ.

Розглянемо ∆МВК і ∆EDF. 1) МВ = DЕ; 2) ВК = DF; 3) ∠В = ∠D.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆МВК = ∆ЕDF.

За властивістю рівних фігур маємо МК = FЕ.

Ми отримали МF = КЕ, МК = FЕ. Застосовуючи теорему 3.1 маємо

МFЕК — паралелограм. Доведено.