Вправи: 96

96. Бісектриса кута А паралелограма ABCD перетинає сторону BC

у точці M, а бісектриса кута C — сторону AD у точці К. Доведіть, що чотирикутник AMCK — паралелограм.

За умовою АВСD — паралелограм. За властивостями паралелограма маємо АВ = СD (протилежні сторони), ∠А = ∠С, ∠В = ∠D (протилежні кути), АВ ∥ СD і ВС ∥ АD (означення паралелограма). За умовою АМ — бісектриса ∠ВАD. За ознакою бісектриси кута маємо ∠BAM = ∠MAK = 12 ∠BAD.

ВС ∥ АD, АМ — січна. За ознакою паралельних прямих маємо ∠КАМ = ∠ВМА (внутрішні різносторонні). Ми отримали ∠ВАМ = ∠МАК і

∠КАМ = ∠ВМА, отже, ∠ВАМ = ∠ВМА. За умовою СК — бісектриса

∠ВСD. Отже, ∠DСК = ∠КСМ = 12∠ВСD. Якщо ∠ВАD = ∠ВСD, тоді

∠ВМА = ∠МСК. Отже, АМ і СК, МС — січна, за ознакою паралельних прямих маємо: ∠ВМА = ∠МСК (відповідні), тоді АМ ∥ СК. МС ∥ АК

(ВС ∥ АD, МС ∈ ВС, АК ∈ АD). За означенням паралелограма маємо АМСК — паралелограм. Доведено.