Вправи: 84

84. Діагоналі AC і BD чотирикутника ABCD є діаметрами кола.

Доведіть, що AB ∥ CD.

Нехай АВСD — даний чотирикутник. АС і ВD — діагоналі, є діаметрами кола. Доведемо, що АВ ∥ СD.

Оскільки АС і ВD — діаметри кола, то АС = BD, т. О — центр кола і точка перетину діагоналей. ВО = ОD = АО = ОС = R.

Розглянемо ∆АОВ і ∆СОD.

1) АО = ОС. 2) ВО = ОD.

3) ∠ВОА = ∠СОD (вертикальні).

Отже, ∆АОВ = ∆СОD (за І ознакою рівності трикутників).

З цього випливає ∠ОСD = ∠ОАВ, ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих АВ і СD та січній АС. Так як ці кути рівні, то АВ ∥ СD.