Вправи: 667

667. Бісектриса кута А трикутника ABC (∠C = 90°) ділить катет BC

на відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть радіус кола, яке проходить через точку А, точку C і точку перетину даної бісектриси з катетом BC.

За умовою АР — бісектриса ∆АВС.

За властивістю бісектриси кута маємо:

ACAB = CPPB; ACAB = 610; ACAB = 35.

Нехай АС = Зx (см), АВ = 5x (см).

За теоремою Піфагора маємо:

АВ² = АС² + СВ²; (5x)² = (Зx)² + 16²; 25x² = 9x² + 256;

25х² – 9х² = 256; 16x² = 256; x² = 256 : 16.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

СВ = СР + РВ, СВ = 6 + 10 = 16 (см).) x² = 16; x = 4.

Отже, АС = 4 • 3 = 12 (см), СВ = 5 • 4 = 20 (см).

Розглянемо ∆АСР — прямокутний (∠С = 90°). За теоремою Піфагора

маємо: АР² = АС² + СР²; АР² = 12² + 6² = 144 + 36 = 180;

АР = 180 = 9•20 = 9•4•5 = 3 • 25 = 65 (см).

Центом кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Отже, R = 12АР = 652 = 35 (см).

Відповідь: R = З5 см.