Вправи: 508

508. На діагоналі BD квадрата ABCD позначили точку E так, що

DE = AD. Через точку E проведено пряму, яка перпендикулярна до прямої BD і перетинає сторону AB у точці F. Доведіть, що AF = FE = BE.

Нехай АВСF — квадрат, ВD — діагональ, т. E ∈ ВD, DE = DА, пр. а ⊥ ВD, т. E ∈ пр. а, пр. а ∩ АВ = т. F. Доведемо, що АF = FЕ = ВЕ. Розглянемо ∆FВЕ, ∠BЕF = 90°, ∠FВЕ = 12 ∠В = 90° : 2 = 45° (ВD • бісектриса ∠В), тоді ∆BЕF — рівнобедрений, ВЕ = ЕF. Розглянемо ∆ЕDА — рівнобедрений, так як ED = DА.

Нехай ∠EAD = ∠AED = x, ∠BAE = 90° – х.

∠FЕА + ∠ВЕF + ∠AЕD = 180°, ∠FЕА = 180° – 90° – = 90° – x. Так як ∠ВАЕ = ∠FЕА = 90°, то ∆АFЕ — рівнобедрений з основою АЕ, тоді

АF = FЕ. АЕ = FЕ = ВЕ, отже, доведено.