Вправи: 488

488. Один із кутів прямокутної трапеції дорівнює 135°, середня

лінія — 21 см, а основи відносяться як 5 : 2. Знайдіть меншу бічну сторону трапеції.

Виконаємо додаткову побудову: висоту СP (СP ⊥ АD). За властивістю кутів трапеції маємо: ∠BCD + ∠D = 180°, ∠D = 180° – ∠BCD, ∠D = 180° – 135° = 45°.

Розглянемо ∆СРD — прямокутний (∠P = 90°). Якщо ∠D = 45°, тому ∠C = 45°. ∆СРD — рівнобедрений, СР = РD. За побудовою АВСР — прямокутник. За властивістю сторін прямокутника маємо: ВС = АР, АВ = СР. За умовою ВС : АD = 2 : 5. Нехай ВС = 2х (см). АD = 5х (см). За умовою МN — середня лінія трапеції. За теоремою про середню лінію трапеції маємо:

МN = 12(АХD + ВС); (2х + 5х) : 2 = 21; (7x) : 2 = 21; 7х = 21 • 2;

7х = 42; x = 42 : 7; х = 6. Отже, АD = 5 • 6 = 30 (см), ВС = 2 • 6 = 12 (см); ВС = АP = 12 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: РD = АD – АР; РD = 30 – 12 = 18 (см). Отже, РD = СP = АВ = 18 см.

Відповідь: 18 см.