Вправи: 480

480. У трикутник ABC вписано квадрат так, що дві його сусідні

вершини належать стороні AC, а дві інші — сторонам AB і BC

відповідно. Знайдіть сторону квадрата, якщо AC = а, а висота,

проведена до сторони AC, дорівнює h.

Розглянемо ∆АВС і ∆КВР: ∠B — спільний.

За умовою NКРМ — квадрат, отже, КР ∥ АС.

За ознакою паралельності прямих маємо: ∠ВРК = ∠ВСА (відповідні). За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆КВР ~ ∆АВС. За властивістю подібних фігур маємо: KPAC = BFBE (ВF — висота ∆КВР, ВЕ — висота ∆АВС). Нехай КР = x – сторона квадрата.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВF = ВЕ – ЕF (ЕF = КN = х), BF = h – х; xa = h- xh; xh = ah – ax; xh + ax = ah; x(a + h) = ah; x = aha+h.

Відповідь: aha+h.