Вправи: 448

448. На площинi позначили 25 точок так, що серед будь­яких трьох iз них знайдуться двi точки, вiдстань мiж якими менша вiд одиницi. Доведiть, що iснуе коло одиничного радiуса, яке мiстить не менше нiж 13 даних точок.

Нехай A — одна із заданих точок. Якщо всі інші точки лежать у колі S1​ радіуса 1 з центром у точці A, то більше нічого доводити не потрібно. Нехай тепер B — задана точка, що лежить поза колом S1​, тобто AB > 1. Розглянемо коло S2​ радіуса 1 з центром у точці B. Серед точок A, B і C, де C — будь–яка із заданих точок, знайдуться дві, відстань між якими менша за 1, причому це не можуть бути точки A і B. Отже, кола S1​ і S2 містять усі задані точки, тобто одне з них містить щонайменше 13 точок.