Вправи: 406

406. У трикутник ABC вписано ромб CDEF так, що кут C у них

спільний, а вершини D, E і F ромба належать відповідно сторонам

AC, AB і BC трикутникa. Знайдіть сторони AC і BC, якщо AE = 30 см, BE = 12 см, а периметр трикутника дорівнює 105 см.

За умовою СDEF — ромб. Нехай СD = x см, AD = y см, FB = z см.

P_∆ABC = AB + BC + AC.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АВ = АЕ + ЕВ, АС = АD + DС, СВ = СF + FВ, АВ = 30 + 12 = 42 (cм).

АС = х + у (см), СВ = х + z (см).

42 + x + y + x + z = 105;

42 + 2x + у + z = 105;

2x + у + z = 105 – 42; 2х + у + z = 63.

За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

ADAE = DCEB; yx = 3012; yx = 52; y = 52x. Аналогічно: BFEF = CFAE; z12 = x30;

xz = 1230; z = 25x. 290x^\10 + 2\155x + 2\25x = 63; 20x+25x+4x10 = 63;

49x10 = 63; x = 63 •1049 = 907; y = 52 • 907 = 2257; z = 25 • 907 = 36z;

AC = x + y = 907 + 2257 = 3157 = 45 (см);

BC = x + z = 907 + 367 = 1267 = 18 (см).

Відповідь: АВ = 45 см, ВС = 18 см.