Вправи: 321

321. Бісектриси кутів А, В і C трикутника ABC перетинають описане навколо нього коло в точках A₁, B₁ і C₁ відповідно. Доведіть, що

A₁B₁ ⊥ CC₁.

За умовою О — точка перетину бісектрис ∆AВС. Отже, О — центр кола, вписаного у ∆АВС. За задачею № 318 маемо, що АВ₁ = В₁С.

Отже, ∆АВ₁С — рівнобедрений, ВВ₁ ⊥ АС. Аналогічно АА₁ ⊥ ВС і СС₁ ⊥ АВ. Крім цього маємо ∆АВ₁С, ∆СA₁В, ∆ВС₁А — рівнобедрені, тому у ∆АC₁В: С₁O — медіана, бісектриса і висота, АN = NВ, С₁N ⊥ АВ. Тому у ∆AОВ: ОN — медіані і висота, тому ∆AОВ — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ОАN = ∠ОВN. Отже, ∠АВО = ∠ОВА (внутрішні різносторонні).

∠ВАО = ∠ОА₁В (внутрішні різносторонні). Тоді за ознакою паралельних прямих маємо: АВ ∥ A₁В₁ і СС₁ ⊥ АВ, отже, A₁В₁ ⊥ СС₁. Доведено.