Вправи: 320

320. Бісектриса кута А трикутника ABC перетинає описане навколо

нього коло в точці D. Точка O — центр вписаного кола трикутника ABC. Доведіть, що DO = DB = DC.

За умовою АD — бісектриса ∠САВ. За означенням бісектриси кута маємо ∠САD = ∠ВАD = 12∠САВ. ∠САD опирається на хорду СD, ∠DАВ опирається на хорду ВD. Отже, якщо ∠САD = ∠ВАD, тоді СD = ВD.

Розглянемо∆СОD і ∆ВОD. 1) ОD — спільна сторона; 2) ВD = DС; 3) ∠ВDO = ∠СDO. За властивістю бісектриси кута чотирикутника. За І ознакою рівності трикутників маємо: DС = DВ. Якщо BD = DC, тоді ∠BCD = ∠DBC (опираються на рівні хорди). Доведено.