Вправи: 208

208. Кути BAD і ВСЕ — зовнішні кути трикутника ABC. Із вершини В проведено перпендикуляри BM і BK до бісектрис кутів BAD і ВСЕ відповідно. Знайдіть відрізок MK, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 18 см.

За умовою ∆АВС, ∠BAD — зовнішній кут ∆АВС. Нехай ∠BAC = х, ∠BAD = 180° – х (суміжний з ∠ВАС). За умовою АР — бісектриса ∠BAD.

За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВАР = ∠DAP = 12∠BAD,

∠ВАР = (180° – х) : 2 = 90° – x2.

Розглянемо ∆ВМА — прямокутний (ВМ ⊥ АР, ∠ВМА = 90°).

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠МВА + ∠ВАМ = 90°, ∠МВА = 90° – (90° – x2) = 90° – 90° + x2 = x2.

Аналогічно ∠ВСЕ — зовнішній кут ∆АВС. Нехай ∠ВСА = у, тоді

∠ВСЕ = 180° – у (суміжний з ∠ВСА). СТ — бісектриса ∠ВСЕ.

∠ВСТ = ∠ТСЕ = 12∠ВСЕ, ∠ВСТ = (180° – у) : 2 = 90° – y2.

Розглянемо ∆ВКС — прямокутний (ВК ⊥ СТ, ∠ВКС = 90°).

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠КВС + ∠ВСК = 90°, ∠КВС = 90° – (90° – y2) = 90° – 90° + y2 = y2.

Виконаємо додаткову побудову: через точку В проведемо пряму

a ∥ АС. ∠РВА = ∠ВАС (внутрішні різносторонні). Отже, ∠РВА = х. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠РВА = ∠РВМ + ∠МВА, ∠РВМ = х – x2 = x2. Отже, ∠РВМ = ∠МВА = x2. МВ — бісектриса ∠РВА. За умовою АВ — висота, отже, за властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ∆РВА — рівнобедрений (РВ = ВА), МВ — медіана, М — середина РА. Аналогічно ∠ТВС = ∠ВСА (внутрішні різносторонні), отже, ∠ТВС = у. За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠ТВС = ∠ТВК + ∠КВС, отже, ∠ТВК = у – y2 = y2. Отже, ∠ТВК = ∠КВС = y2. ВК — бісектриса ∠ТВС. За умовою ВК — висота, отже, за властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ∆ТВС — рівнобедрений (ВС = ВТ). ВК — медіана, К — середина СТ. Побудуємо відрізок МК, МК ∩ АВ = Е, МК ∩ ВС = F. Отже, отримали М — середина АР, К — середина СТ, тому МК ∥ АС, МК ∥ а. Розглянемо ∆АВР: МЕ ∥ ВР і проходить через точку М — середину АВ. МЕ — середня лінія ∆АВР за теоремою про середню лінію трикутника

маємо: МЕ = 12РВ (РВ = ВА), МЕ = 12ВА. Розглянемо ∆ВСТ.

FК ∥ ВТ і проходить через точку В — середину СТ. FК — середня лінія ∆ВСТ. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: FK = 12ВТ (ВТ = ВС), FК = 12ВС. Розглянемо ∆АВС. FЕ — середня лінія ∆АВС.

За теоремою про середню лінію маємо: ЕF = 12АС.

P∆_ABC = АВ + ВС + АС = 8 см | : 2;

12(АВ + ВС + АС) = 18 : 2; 12АВ + 12BC + 12АС = 9 см;

МЕ + ЕF + FК = МК (за аксіомою вимірювання відрізків). МК = 9 см. МЕ + FК + ЕР = 9 см.

Відповідь: 9 см.