Вправи: 205

205. Вершинами чотирикутника є середини сторін прямокутника

з діагоналлю 12 см. Визначте вид чотирикутника та знайдіть його сторони.

За умовою АВСD — прямокутник. За властивістю діагоналей прямокутника маємо АС = ВD (діагоналі прямокутника). Розглянемо ∆АВС. За умовою F — середина сторони АВ, Т — середина сторони ВС. За означенням середньої лінії трикутникамаємо FТ — середня лінія ∆АВС. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: FТ ∥ АС, FT = 12AC, FT = 12 : 2 = 6 (см). Аналогічно маємо у ∆АСD: ЕК — середня лінія, ЕК = 12АС, ЕК ∥ АС, ЕК = 12 : 2 = 6 (см).

У ∆АВD: FЕ ∥ ВD, FE = 12BD, FE = 12 : 2 = 6 (см).

У ∆ВСD: ТК — середня лінія, ТК ∥ ВD, TK = 12BD, KT = 12 : 2 = 6 (см).

Отже, маємо АС ∥ FТ і АС ∥ ЕК, отже, FТ ∥ ЕК, також ВD ∥ FЕ, ВD ∥ ТК.

Отже, FЕ ∥ ТК. Звідси маємо FТKE — паралелограм і FE = ЕK = ТK = FТ = 6 см, тоді FТKЕ — ромб.

Відповідь: FТКЕ — ромб; сторона 6 см.