Вправи: 204

204. Вершинами чотирикутника є середини сторін ромба з діагоналями 8 см і 14 см. Визначте вид чотирикутника та знайдіть

його сторони.

За умовою F — середина сторони АВ і К — середина сторони ВС. За означенням середньої лінії трикутника маємо: FК — середня лінія ∆АВС. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: FК ∥ АС і FК = 12АС, FК = 8 : 2 = 4 (см). За умовою Е — середина сторони АD і Т — середина сторони СD.

ЕТ — середня лінія ∆АОС; ЕТ ∥ АС, ET = 12AC, ЕТ = 8 : 2 = 4 (см). Отже, маємо: FК ∥ АС і ЕТ ∥ AC, тоді FK ∥ ET.

У ∆АВD: ЕF — середня лінія, FE ∥ ВD, FE = 12BD, FE = 14 : 2 = 7 (см).

У ∆ВСD: KT — середня лінія, KT ∥ ВD, KT = 12ВD, KT = 14 : 2 = 7 (см). Отже, маємо: КТ ∥ ВD і FЕ ∥ ВD, тоді КТ ∥ FЕ. Отже, FКТЕ — паралелограм. За умовою АВСD — ромб. АС і ВD — діагоналі. За властивістю діагоналей ромба маємо: АС ⊥ ВО. Тоді FЕ ⊥ FK, FК ⊥ КТ, КТ ⊥ ЕТ, ЕТ ⊥ FЕ. Отже, FКТЕ — прямокутник.

Відповідь: FКТЕ — прямокутник, FK = ЕТ = 4 см, КТ = FЕ = 7 см.