Вправи: 185

185. На сторонах BC і CD квадрата ABCD позначено точки M і E так,

що кути ВАМ і MAE рівні. Доведіть, що AE = BM + DE.

На продовженні сторони СD за точку D відкладемо відрізок DМ₁ = ВМ. Розглянемо ∆АВМ і ∆АDM₁.

1) ∠АВМ = ∠АDМ₁ = 90°. 2) АВ = АD (як сторони квадрата). 3) ВМ = DМ₁ (за побудовою).

Тоді ∆АВМ = ∆АDM₁ (за І ознакою рівності трикутників). З цього випливає, що ∠ВАМ = ∠М₁АD.

Нехай ∠ВАМ = ∠МАЕ = х, тоді ∠DАМ₁ = х.

∠ВАD = ∠ВАМ + ∠МАЕ + ∠ЕАD; 90° = х + х + ∠ЕАD; ∠ЕАD = 90° – 2x.

Розглянемо ∆АВМ: ∠В = 90°, ∠ВАМ = х, тоді ∠ВМА = 90° – х.

Так як ∆АВМ = ∆DAM₁, то ∠ВМА = ∠DМ₁А = 90° – х.

Розглянемо ∆ЕАМ₁. Оскільки ∠ЕАМ₁ = ∠ЕМ₁А = 90° – х, то ∆ЕАМ₁ —

рівнобедрений, тоді АЕ = ЕМ₁. АЕ = ЕD + DМ₁ = ЕD + ВМ.