Вправи: 183

183. Побудуйте квадрат: 1) за сумою діагоналі та сторони; 2) за різницею діагоналі та сторони.

1) Дано:

Побудувати: квадрат АВСD: АВ = ВС = СD = DА = а, АС = ВD = d.

Аналіз: На прямій АВ відкладемо відрізок ВК = ВD, тоді АК = АВ + ВК = АВ + ВD = а + d. ∆DВК — рівнобедрений, тоді ∠DКВ = ∠ВDК = 22,5°.

Побудова. 1) Побудуємо відрізок АК = а + b.

2) Побудувати ∠КАМ = 90°. 3) Побудувати ∠АКF = 22,5°; (12 • 45°). 4) Промені АМ і АF перетинаються в т. D. 5) АD = а (сторона квадрата). 6) На АК відкладемо відрізок АВ = АD = а. 7) Провести коло з центром у т. О, радіус дорівнює АО. 8) Провести коло з центром у т. D, радіус дорівнює АD. 9) Точка перетину цих кіл — т. С. 10) АВСD — шуканий квадрат.

2) Побудувати: квадрат АВСD: АВ = ВС = СD = DА = а, АС = ВD = d.

Аналіз: Нехай a — сторона квадрата, d = а2. d – а = а2 – a = а(2 – 1). Якщо розглянути квадрат із стороною а (2 – 1). то його діагональ d₁ = а(2– 1) • 2 = a(2 – 2). Таким чином:

d₁ + а(2 – 1) = а(2 – 2) + а (2 – 1) = 2а – a2 + а2 – а = а.

Побудова.

1) Відкладемо відрізок d – а = АN. 2) Будуємо квадрат АNМF із стороною d – а. 3) На промені АN відкладемо АK = АМ. 4) На промені АN від т. відкладемо КР = МN. 5) Будуємо квадрат АРВС, сторона якого дорівнює АР. 6) АРВС — шуканий квадрат.