Вправи: 180

180. Вершини M і K рівностороннього трикутника AMK належать

сторонам BC і CD квадрата ABCD. Доведіть, що MK ∥ BD.

Розглянемо ∆АВМ і ∆АDК. 1) ∠В = ∠D (АВСD — квадрат). 2) АВ = АD. 3) АМ = АК (∆АМК — рівносторонній). Отже, ∆АВМ = ∆АDК (за катетом і гіпотенузою). З цього випливає, що ВМ = DK. CB = СD (як сторони квадрата), СМ = СК (так як ВМ = DК). ∆МСК — рівнобедрений, ∠С = 90°, ∠СМК = ∠СКМ = 45°, ∠DВС = ∠DВА = 12∠В = 90° : 2 = 45° (діагональ квадрата є бісектрисою його кутів). ∠СМК = ∠СВD = 45° при прямих МК і ВD і січній ВС. Ці кути є повідними. Оскілки ці кути рівні, то МК ∥ ВD.