Вправи: 179

179. Доведіть, що точки перетину бісектрис кутів прямокутника,

який не є квадратом, є вершинами квадрата.

Нехай АВСD — прямокутник, АК, ВК, СN, DN — бісектриси кутів А, В, С, D. Доведемо, що КМNР — квадрат. ∠А = ∠В = 180° (AВСD —

прямокутник). ∠РАК = ∠КАВ = ∠АВК = ∠КВМ = 12∠А = 12∠В = 90° : 2 = 45° (АК і ВК — бісектриси). В ∆АВК: ∠КВА = ∠КАВ = 45°, тоді ∠ВKА = 90°.

∠МКР = ∠АКВ = 90° (як вертикальні). Розглянемо ∆АВР: ∠А = 90°, ∠АВР = 45°, тоді ∠АРВ = 45°, тоді ∆АВР — рівнобедревий. ∠ВРА = ∠МDА = 45°, вони відповідні при прямих ВР і МD та січній АD, оскільки ці кути рівні, то ВР ∥ МD.

∆АВР = ∆СDМ (за двома катетами), тоді ВР = МD.

АК — бісектриса, проведена до основи, тоді АК — медіана і висота,

ВК = КР = 12ВР. СN — бісектриса, проведена до основи, тоді СN — медіана і висота, МN = ND = 12МD. Оскільки ВР = МD, то МN = КР. Чотирикутник КМNР — паралелограм (МN = КР, МN ∥ КР). ∆ВАР = ∆АМВ (за катетом і гострим кутом), тоді АМ = ВР. КР = 12ВР; КМ = 12АМ. Отже, КР = КМ. Якщо в паралелограмі один кут прямий, сусідні сторони рівні, то це — квадрат.