Вправи: 173

173. Точки М, К, N, P є відповідно серединами сторін AB, BC, CD і AD квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник MKNP — квадрат.

Оскільки АВ = ВС = СD = АD (як сторони квадрата), то АМ = МВ = ВК = KС = СN = ND = DP = РА (як половини рівних сторін).

Розглянемо ∆РАМ, ∆МВК, ∆КСN, ∆NDР.

1) ∠А = ∠В = ∠С = ∠D = 90°.

2) АМ = МВ = ВК = КС = СN = ND = DР = РА.

Отже, ∆РАМ = ∆МВК = ∆KCN = ∆NDР (за двома катетами). З цього випливає, що МP = MK = KN = РN, тоді МКNР — ромб. ∆KCN і ∆РDN — рівнобедрені,

прямокутні, тоді ∠СКN = ∠СNК = ∠РND = ∠DРN = 45°.

∠СND = ∠СNК + ∠КNР + ∠РND; 180° = 45° + ∠KNР + 45°; ∠KNР = 90°. Якщо в ромбі є прямий кут, то він — квадрат. МКNР — квадрат.