Вправи: 172

172. У прямокутному трикутнику через точку перетину бісектриси

прямого кута та гіпотенузи проведено прямі, паралельні катетам. Доведіть, що чотирикутник, який утворився, є квадратом.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, СK — бісектриса, пр. а ∥ АС, пр. b ∥ ВС, пр. b ∩ пр. а = т. K. Доведемо, що NKМС — квадрат.

Розглянемо чотирикутник NKМС. NK ∥ ВС, NС ∥ KМ, тоді NKМС — паралелограм. ∠С = 90°, тоді паралелограм NKМС — прямокутник.

Розглянемо ∆СХМ, ∠СМK = 90°, ∠КСМ = 90° : 2 = 45° (СK — бісектриса), ∠СКМ = 45°. ∆СKМ — рівнобедрений, СМ = МК. Оскільки у прямокутнику NKМС сусідні сторони рівні, то NKМС — квадрат.