Вправи: 128

128. Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, у якого сусідні

сторони не рівні, перетинаючись, утворюють прямокутник.

Нехай ABCD — паралелограм, ВК, АК, CN, DN — бісектриси, ВК ∩ CN т. Р, АК ∩ DN = т. М.

Доведемо, що KMNP — паралелограм. ∠BAF = ∠FAD = 12∠А (AF — бісектриса).

∠BFA = ∠FAD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній AF).

∠BAF = ∠BFA = 12∠А. ∠BCN = ∠DCN = 12∠C (CN — бісектриса).

Так як ∠А = ∠С , то ∠BFA = ∠BCN, ці кути є відповідними при AF і СР

та січній ВС. Ці кути рівні, отже AF ∥ СР.

∠ABG = ∠GBC = 12∠В (ВК — бісектриса). ∠AGB = ∠GBC (як внутрішні

різносторонні при ВС ∥ AD і січній BG).

∠NDA = ∠NDC = 12∠D (DN – бісектриса). Так як ∠В = ∠D, то ∠ВGА = ∠NDА, ці кути є відповідними при ВG і DN та січній АD.

Ці кути рівні, отже ВG ∥ DN.

Чотирикутник PKMN — паралелограм (КМ ∥ РN, КР ∥ МN).

∠А + ∠В = 180° (як сусідні кути паралелограма).

∠АВК = 12∠В ; ∠ВАК = 12∠А.

Розглянемо ∆АВК: ∠АВК + ∠ВАК + ∠АКВ = 180°

12∠В + 12∠А + ∠АКВ = 180°; 12(∠В + ∠А) + ∠АКВ = 180°:

∠АКВ = 90°. ∠РКМ = ∠АКВ = 90° (як вертикальні). Оскільки в паралелограмі РKМN один кут прямій, то це — прямокутник.