Вправи: 124

124. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює

55 см. Прямокутник ABCD побудовано так, що дві його вершини A i D належать гіпотенузі, а дві інші — катетам даного трикутника. Знайдіть сторони прямокутника, якщо AB : BC = 3 : 5.

Нехай дано ∆РКМ, ∠М = 90°, РК = 55 см, РМ = МК, АВСD — прямокутник.

АВ : ВС – 3 : 5. Знайдемо АВ і ВС. Оскільки ∆РКМ — прямокутний рівнобедрений, то ∠Р = ∠К = 45°.

Розглянемо ∆РАВ і ∆КВС.

1) ∠РАВ = ∠KDС = 90°. 2) ∠Р = ∠К = 45°.

3) АВ = СВ.

Отже, ∆РАВ = ∆KDС (за катетом і гострим кутом), тоді РА = DК.

∆РАВ — прямокутний, ∠Р = 45°, тоді ∠РВА = 45°, отже, ∆РАВ — рівнобедрений, РА = ВА. РА = DK = ВА. Нехай х (см) — одна частина, тоді АВ = Зх (см), ВС = 5х (см). РК = РА + АD + DK;

РК = ВА + АD + ВА = 2ВА + АD, АD = ВС = 5х. РВ = 2 • Зх + 5х = 11x; 11x = 55; х = 5 (см). АВ = 3 • 5 = 15 (см), ВС = 5 • 5 = 25 (см).

Відповідь: 15 см, 25 см.