Вправи: 1402

1402. Доведи тотожність Ейлера:

Перетворимо вирази: a³ + b³ + (2a3b+ b4a3- b3)³ = (a4+ 2aba3- b3)³;

a3(a3- b3)3+ b3(a3- b3)3+ (2a3b+ b4)3(a3- b3)3 = (a4+ 2ab3)3(a3- b3)3;

(а³ – b³)³ (а³ + b³) + (2а³b + b⁴)³ = (а⁴ + 2аb³)³;

(а⁶ – b⁶) (a³ – b³)² + b³(2а³ + b³)³ = (а⁴ + 2аb³)³;

а¹² – b¹² – 2а³b³ (а⁶ – b⁶) + b³(8а⁹ + 12а⁶b³ + 6а³b⁶ + b⁹) = а¹² + 6а⁶b⁶ + 12а⁶b⁶ + 8а³b⁹;

а¹² – b¹² – 2а⁹b³ + 2а³b⁹ + 8а⁹b³ + 12а⁶b⁶ + 6а³b⁹ + b¹² = а¹² + 6а⁹b³ + 12а⁶b⁶ + 8а³b⁹;

а¹² + 6а⁹b³ + 12а⁶b⁶ + 8а³b⁹ = а¹² + 6а⁹b³ + 12а⁶b⁶ + 8а³b⁹.

Отже, ліва частина дорівнює правій, тотожність при всіх допустимих

значеннях змінної, доведено.

х³ + у³ + z³ = t³, такі числа існують, наприклад,

1³ + 6³ + 8³ = 9²; 1 + 216 + 512 = 729.

Відповідь: так, існують.