Вправи: 908

908. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):

1) ax² + bx + c = 0. Нехай m – корінь цього рівняння, тоді

am² + bm + c = 0; D = b² – 4ac;

m₁ = -b+ D2a або m₂ = -b- D2a; –m = b- D2a або –m = b+ D2a.

Підставимо отримані корені в рівняння ах² – bc + c = 0.

a) a • (b- D2a)² – b • (b- D2a) + c = 0; a(b- D)24a2 – b(b- D)22a + c = 0; ab2- 2bD+ D- 2ab2- 2abD+ 4a2c4a2 = 0;

ab2- 2abD- aD-2ab2+ 2abD+ 4a2c4a2 = 0; -ab2+ ab2- 4ac+ 4a2c4a2= 0; -ab2+ ab2- 4a2c+4a2c4a2 = 0;

04a2 = 0; 0 = 0;

б) a • (b+ D2a)² – b • (b+ D2a) + c = 0; a(b+ D)24a2 – b(b+ D)22a + c = 0;

ab2+ 2bD+ D- 2ab2- 2abD+ 4a2c4a2 = 0;

ab2+ 2abD+ aD-2ab2- 2abD+ 4a2c4a2 = 0;

-ab2+ ab2- 4ac+ 4a2c4a2 = 0; з попереднього доведення маємо 0 = 0. –m – корінь рівняння ax² – bx + c = 0.

2) a) m = -b+ D2a, тоді 1m = 2a-b+ D;

c • (2a-b+ D)² + b • (2a-b+ D) + a = 0;

c • 4a2(D- b)2 + 2abD- b + a = 0; 4a2c+2abD- b+ a(D- b)2(D- b)2 = 0;

4a2c+2abD- 2ab2+ aD-2abD+ ab2(D- b)2 = 0; 4a2c-ab2+ a(b2- 4ac)(D- b)2 = 0; 4a2c-ab2+ ab2- 4a2c(D- b)2 = 0;

0 = 0, 1m – корінь рівняння;

б) m = -b- D2a, тоді 1m = 2a-b- D; c • (2a-b- D)² + b • (2a-b- D) + a = 0; 4a2c(b+ D)2 – 2abb+ D + a = 0; 4a2c-2abb+ D+ a(b+ D)2(b+ D)2 = 0;

4a2c-2ab2- 2abD+ ab2+ 2abD+ Da(b+ D)2 = 0;

4a2c-ab2+ a(b2- 4ac)(b+ D)2 = 0; 4a2c-ab2+ ab2- 4a2c(b+ D)2 = 0; 0 = 0,

1m – корінь рівняння;

Відповідь: а) правильно; б) правильно.