Вправи: 906

906. Розв’яжіть рівняння:

1) х-1х+5 + х+5х-1 = 103; Заміна: х-1х+5 = t, тоді х+3х-1 = 1t, маємо рівняння

t + 1t = 103; t + 1t – 103 = 0; 3t2- 10t+33t = 0; 3t² – 10t + 3 = 0,

3t ≠ 0;

t = 13 або t = 3, x-1x+3 = x-1x+5; розв’яжемо перше рівняння:

t ≠ 0;

x-1x+3 = 13; x-1x+3 – 1x = 0; 3x-3-13(x+5) = 0; 3x-43(x-5) = 0; 3x – 4 = 0,

3(x + 5) ≠ 0;

x = 43,

x ≠ –5; розв’яжемо друге рівняння: x-1x+5 = 3; x-1x+5 – 3 = 0; x-1-3x-15x+5 = 0; -2x-16x+5 = 0; –2x – 16 = 0, x = –8,

x + 5 ≠ 0; x ≠ –5.

Відповідь: –8; 43.

2) x2- 3x+6x + 2xx2- 3x+6 = 3. Заміна: х2- 3х+6х = t, тоді

хх2- 3х+6 = 1t, маємо рівняння: t + 2t = 3; t + 2t – 3 = 0; t2- 3t+2t = 0; t² – 3t + 2 = 0, t = 1 або t = 2, отже

t ≠ 0, t ≠ 0,

xx2- 3x+6 = 1 або х2- 3х+6х = 2; розв’яжемо перше рівняння:

xx2- 3x+6 = 1; xx2- 3x+6 – 1 = 0; x2- 3x+6-xx = 0;

x² – 4x + 6 = 0, немає коренів,

х ≠ 0; х ≠ 0;

розв’яжемо друге рівняння:x2- 3x+6x – 2=0; x2- 3x+6-2xx = 0;

x2- 5x+6x = 0; x² – 5x + 6 = 0, x = 3 або х = 2,

х ≠ 0; х ≠ 0.

Відповідь: 2; 3.

3) х2(3х-1)2 – 4х3х-1 – 5 = 0. Заміна: х3х-1 = t, тоді x2(3x-1)2 = t², маємо рівняння: t² – 4t – 5 = 0; t = 5 або t₂ = –1; x3x-1 = 5 або x3x-1 = –1; розв’яжемо перше рівняння: x3x-1 = 5; x3x-1 – 5 =

= 0; x-15x+53x-1 = 0; -14x+53x-1 = 0; –14x + 5 = 0, x = 514,

3x – 1 ≠ 0; x ≠ 13;

розв’яжемо друге рівняння: x3x-1 = –1; x3x-1 + 1 = 0;

x+3x-13x-1 = 0; 4x-13x-1 = 0; 4x – 1 = 0, x = 14,

3x – 1 ≠ 0; x ≠ 13.

Відповідь: 1514; 14.

4) 24x2+ 2x-8 – 15x2+ 2x-3 = 2. Заміна: x² + 2x = t, маємо рівняння: 24t-8 – 15t-3 = 2; 24t-8 – 15t-3 – 2 = 0; 24t-3- 15t-8- 2(t-8)(t-3)t-8(t-3) = 0; 24t-72-15t+120-2t2+ 6t+16t-48t-8(t-3) = 0; -2t2+ 31tt-8(t-3) = 0;

–2t² + 31t = 0, 2t² – 31t = 0, t(2t – 31) = 0,

(t – 8)(t – 3) ≠ 0; t ≠ 8, t ≠ 8,

t ≠ 3; t ≠ 3;

t = 0 або t = 15,5,

t ≠ 8,

t ≠ 3.

Маємо: х² + 2х = 0 або х² + 2х = 15,5; розв’яжемо перше

рівняння: х(х + 2) = 0; х = 0 або х = –2; розв’яжемо друге

рівняння: х² + 2х = 15,5; х² + 2х – 15,5 = 0; D₁ = 1 + 15,5 =

= 16,5; x = –1 + 16,5 або x = –1 – 16,5.

Відповідь: –1 ± 16,5; –2; 0.