Вправи: 200

200. (З українського фольклору.) За 30 монет купили 30 птахів. Скільки купили птахів кожного виду, якщо за трьох горобців платили одну монету, за двох голубів — теж одну монету, а за одну горлицю — дві монети, причому купили хоча б одну пташку кожного виду?

Нехай купили x горобців по 13 монети, у голубів по 12 монети та z горлиць по 2 монети. Всього птахів купили x + у + z, що за умовою дорівнює 30. За них заплатили 13x + 12у + 2z, що за умовою дорівнює 30. Складаємо систему двох рівнянь з трьома невідомими: x + y + z = 30,

13x + 12y + 2z = 30| • 6.

Знайдемо цілі розв’язки системи рівнянь.

x + y + z = 30| • 12, 12x + 12y + 12z – 360,

2x + 3y + 12z = 180; 2x + 3y + 12z = 180.

Від першого рівняння віднімаємо друге:

10x + 9y = 180; 10x = 180 – 9у, х = (180 – 9у) : 10. Щоб рівняння мало цілі розв’язки, та 0 < x < 30; у = 10, тоді x = 9, z = 11. Отже купили 9 горобців, 10 голубів, 11 горлиць.