Вправи: 981

981. Розв’яжіть рівняння:

1) x + 2x – 8 = 0.

x = t, де t ≥ 0. Тоді x = (x)² = t².

t² + 2t – 8 = 0; D = 2² – 4 • (–8) = 36;

t₁ = -2+62 = 2; t₂ = -2-62 = –4 – не задовольняє умову t ≥ 0.

x = 2; x = 4.

2) (х² – 2х – 1)(x² – 2х – 3) = 3.

x² – 2х = t. Маємо (t – 1)(t – 3) = 3; t² – t – 3t + t = 3;

t² – 4t = 0; t(t – 4) = 0; t₁ = 0; t₂ = 4.

1) t₁ = 0; x² – 2х = 0; х(х – 2) = 0; x₁ = 0; x₂ = 2.

2) t₂ = 4; x² – 2х = 4; х² – 2х – 4 = 0; D = (–2)² – 4 • (–4) = 20;

x_3,4 = 2 ±252 = 1 ± 5.

3) (х + 1)⁴ – 5(х + 1)² – 6 = 0.

(х + 1)² = t, де t ≥ 0. Тоді t² – 5t – 6 = 0; D = (–5)² – 4 • (–6) = 49;

t₁ = 5+72 = 6; t₂ = 5-72 = –1 – не задовольняє умову t ≥ 0.

(х + 1)² = 6; х + 1 = ± 6; x_1,2 = –1 ± 6.

4) (х² – х – 2)² – 4x² + 4х – 1 = 0.

(х² – х – 1)² – 4(х² – х) – 1 = 0. Заміна: х² – х = t.

Тоді (t – 1)² – 4t – 1 = 0;

t² – 2t + 1 – 4t – 1 = 0; t² – 6t = 0; t(t – 6) = 0; t₁ = 0; t₂ = 6.

1) t₁ = 0; x² – х = 0; х(х – 1) = 0; x₁ = 0; x₂ = 1.

2) t₂ = 6; x² – x = 6; х² – х – 6 = 0; D = (–1)² – 4 • (–6) = 25;

x₃ = 1+52 = 3; x₄ = 1-52 = –2.

Відповідь: 1) 4; 2) 0; 2; 1 ± 5; 3) –1 ± 6; 4) 0; 1; 3; –2.