Вправи: 1126 (1)

1126. Розв’яжіть відносно x рівняння:

1) x2+1a2x-2a – 12- ax = xa; x2+1a(ax-2) + 1ax-2 – xa = 0;

x2+1+ a- x(ax-2)a(ax-2) = 0; x2+1+ a- ax2+2xa(ax-2) = 0;

x21- a+2x+(1+ a)a(ax-2) = 0.

x²(1 – а) + 2x + (1 + а) = 0,

Рівняння рівносильне системі a ≠ 0,

а ≠ 2а.

а) а = 1. Маємо 2x + 2 = 0,

x ≠ 2; x = –1.

б) a ≠ 1, а ≠ 0. Тоді D = 4 – 4(1 – а)(1 + а) = 4 – 4(1 – а²) = 4a²;

x₁ = -2+2a2(1- a) = -2(1- a)2(1- a) = –1; x₂ = -2-2a2(1- a) = -2(1+ a)2(1- a) = a+1a-1.

Необхідна перевірка умови x ≠ 2а.

Якщо а = –2, то x₁ = –1 – не є коренем рівняння; x₂ = -2+1-2-1 = 13.

a+1a-1 = 2a; а² + а = 2а – 2; а² – а + 2 = 0; немає розв'язків.

Відповідь: Якщо а = 1, то x = –1; якщо а = –2, то x = 13; якщо а ≠ 1; а ≠ –2; а ≠ 0, то x₁ = –1; x₂ = a+1a-1.

2) x+23x-a + 3-x3x2+2ax-a2 = 3x+2x+a.

3x² + 2ax – а² = 3x² + 3ax – ах – a² = 3х(x + a) – а(х + a) = (3х – а)(x + a).

x+23x-a + 3-x(3x-a)(x+a) = 3x+2x+a = 0.

Рівняння рівносильне системі

(x + 2)(x + а) + 3 – x – (3x + 2)(3х – а) = 0,

x ≠ –a

х ≠ a3.

x² + 2x + ах + 2a + 3 – x – 9x² – 6x + 3xa + 2a = 0;

–8x² + (4а – 5)x + (4а + 3) = 0| : (–1);

8x² – (4a – 5)x – (4a + 3) = 0;

D = (4a – 5)² – 4 • 8 • (–(4a + 3)) = 16а² – 40a + 25 + 128a + 96 = 16а² + 88a + 121 = (4a + 11)²;

x₁ = 4a-5+(4a+11)16 = 8a+616 = 2(4a+3)16 = 4a+38;

x₂ = 4a-5-(4a+11)16 = –1.

Необхідно перевірити виконання умов x ≠ –a; x ≠ –2; а ≠ a3.

а) 4a+38 = –а; 4а + 3 = –8а; 12а = –3; а = –14. Тоді x = –1 – єдиний корінь.

б) 4a+38 = a3; 12а + 9 = 8а; 4а = –9; а = –94. Тоді x = –1 – єдиний корінь.

в) –1 = –a; а = 1. Тоді x = 4a+38 = 78 – єдиний корінь.

г) –1 = a3; a = –3. Тоді x = 4a+38 = -12+38 = –98 – єдиний корінь.

Відповідь: Якщо а = –14 або а = –94, то x = –1; якщо а = 1, то x = 78; якщо а = –3, то x = –98; якщо а ≠ –3; а ≠ –94; а ≠ –14; a ≠ 1, то

x₁ = 4a+38; x₂ = –1.