Вправи: 1121 (1-2)

1121. Розв’яжіть відносно х рівняння:

1) (а² + а – 2)x = a – 1.

а) а² + а – 2 = 0; а₁ = 1; а₂ = –2.

Якщо а = 1, то маємо 0x = 0; x – будь–яке число.

Якщо а = –2, то маємо 0x = –3; немає розв'язків.

б) а² + а – 2 ≠ 0; а ≠ 1; а ≠ –2.

х = а-1а2+ а-2; х = а-1(а-1)(а+2); х = 1а+2.

2) x2-5x+4x-а = 0.

x² – 5x + 4 = 0,

x ≠ a. Розв'язками першого рівняння є x = 1; x = 4.

а) Якщо а = 1, то x = 4.

б) Якщо а = 4, то x = 1.

в) Якщо а ≠ 1, а ≠ 4, то x₁ = 1; x₂ = 4.

Відповідь: Якщо а = 1, то x = 4; якщо а = 4, то x = 1; якщо а ≠ 1,

а ≠ 4, то x₁ = 1, x₂ = 4.

3) x-аx2-4x+3 = 0.

x – а = 0, x = a,

x² – 4x + 3 ≠ 0; x ≠ 1,

x ≠ 3.

Якщо а = 1 або a = 3, рівняння не має розв'язків, якщо а ≠ 1, а ≠ 3, то x = a.

Відповідь: Якщо а = 1 або a = 3, рівняння немає розв'язків, якщо

а ≠ 1, а ≠ 3, то x = a.

4) x2-3а+4x+12аx-3 = 0.

x² – (3a + 4)x + 12а = 0,

x ≠ 3.

D = (3a + 4)² – 4 • 12а = 9а² + 24a + 16 – 48а = 9а² – 24а + 16 = (3a – 4)²;

х₁ = 3а+4+3а-42 = 3а; х₂ = 3а+4-(3а-4)2 = 4.

Якщо 3a = 3, тобто а = 1, то x = 4; якщо а ≠ 1, то x₁ = 3а; x₂ = 4.

Відповідь: Якщо а = 1, то x = 4; якщо а ≠ 1, то x₁ = 3а; x₂ = 4.

5) а(x-а)x+7 = 0.

Якщо а = 0, то маємо 0xx+7 = 0; x – будь–яке число, крім –7.

Якщо а ≠ 0, то x = a, проте якщо а = –7, то рівняння немає розв'язків.

Відповідь: Якщо а = 0, то x – будь–яке число, крім –7; якщо а = –7, то рівняння немає розв'язків; якщо а ≠ 0, а ≠ –7, то x = a.

6) а2-1аx-1 = xа; а2-1аx-1 – xа = 0; а3-а-аx2+xа(аx-1) = 0.

ax² – x – (a³ – a) = 0,

Рівняння рівносильне системі a ≠ 0,

х ≠ 1а.

Перше рівняння для всіх значень а є квадратним.

D = 1 + 4a(a³ – а) = 4a⁴ – 4а² + 1 = (2a² – 1)²,

x₁ = 1+(2a2-1)2a = a; x₂ = 1-(2a2-1)2a = 2(1-a2)2a = 1-a2a.

Проте повинна виконуватися умова x ≠ 1а.

а) х₁ = 1a, тобто а = 1а. Це виконується, якщо а = ±1, тоді маємо лише x = 1-a2a; x = 0.

б) х₂ = 1a; 1-а2a = 1a. Це рівняння коренів немає.

Відповідь: Якщо а = 1 або a = –1, то x = 1-a2a; якщо а ≠ 1; а ≠ –1;

а ≠ 0, то x₁ = а або x₂ = 1-a2a.