Задачі підвищеної складності з алгебри: 24

24. Число b є середнім арифметичним чисел а і с. Доведіть, що а² + ас + с² є середнім арифметичним чисел а² + ab + b² і b² + bс + с².

Якщо число b є середнім арифметичним чисел а і с, то b = a + c2. Маємо: (a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2)2 = a2 ab + 2b2 bc + c22 = a2 + 2b2 + c2 + b(a + c)2 = a2 + 2(a + c2)2 + c2 + a + c2 •(a + c)2 = a2 + (a + c)22 + c2 + (a + c)222 = a2 + (a + c)2 + c22 = a2 + a2 + 2ac + c2+ c22 = 2(a2 + ac + c2)2 = a² + ac + c². Отже, число а² + ас + с² є середнім арифметичним чисел a² + ab + b² і b² + bс + c².