Задачі підвищеної складності з геометрії: 26

26. У трикутнику ABC AC = BC, D — точка перетину бісектрис

трикутника, а точка O — центр кола, описаного навколо трикутника. Відрізок OD перетинає сторону AB трикутника в точці P і ділиться цією точкою навпіл. Знайдіть кути трикутника ABC.

1) Позначимо ∠CAD = ∠DAB = х.2) CP — серединний перпендикулярі висота ∆ABC. Тому АР — висота ∆ADO.3) Оскільки висота ∆ADO є також і медіаною, то AD = AO, а тому AP також і бісектриса ∆ADO. Маємо ∠OAP = х.4) OA = OC (як радіуси), тому ∠OCA = ∠OAC = Зх.

5) Але в ∆ACP: ∠C = 90° – 2х. Маємо Зх = 90° – 2х; 5х = 90°;

х = 18°.

6) Отже, ∠CAB = ∠CBA = 2 ∙ 18° = 36°;

∠ACB = 180° – 2 ∙ 36° = 108°.

Відповідь. 36°; 36°; 108°.