Вправи: 927

927. ∠AOB і ∠BOC — суміжні кути. Чи перпендикулярні промені OM і ON (M — внутрішня точка кута AOB, N — внутрішня точка кута BOC), якщо: а) ∠BOC = 50°, ON — бісектриса кута BOC, ∠AOM = 70°; б) ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1, ∠MOB = 13∠AOB, ∠CON = 10°; в) ∠AOB −∠BOC = 20°, ∠MOB = ∠NOC = 40°; г) ∠BOC = 23∠ AOB, ∠NOC : ∠NOB = 1 : 2, ∠AOM −∠BOM = 24°?

Нехай ∠AOB і ∠BOC — суміжні, OM і ON — промені, що проходять між сторонами AOB й BOC. Доведемо, що OM ⊥ ON, якщо:

a) ∠BOC = 50°, ON — бісектриса ∠BOC, ∠AOM = 70°, OM ⊥ ON, якщо OM і ON — бісектриси кутів AOB і BOC. Якщо ∠BOC = 50°, то суміжний йому ∠AOB = 180° – 50° = 130°.

Якщо ∠AOM = 70°, то OM не бісектриса ∠AOB, інакше ∠AOM дорівнював би 130° : 2 = 65°.

Відповідь: ні.

б) ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1. ∠MOB = 13∠AOB, ∠CON = 10°. ∠MON = ∠MOB + ∠BON.

Оскільки ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1, тоді ∠AOB = 2х, ∠BOC = х. ∠AOB + ∠BOC = 180° як суміжні.

2х + х = 180°; 3x = 180°; х = 60°.

Оскільки ∠AOB = 120°, ∠BOC = 60°. ∠MOB = 13 • 120° = 40°, ∠BON = 60° – 10° = 50°.

Тоді ∠MON = 40° + 50° = 90°. Оскільки OM ⊥ ON.

в) ∠AOB – ∠BOC = 20°, ∠MOB = ∠NOC = 40°.

∠AOB + ∠BOC = 180° як суміжні кути. Нехай ∠BOC = х, тоді ∠AOB = х + 20°. Одержуємо рівняння: х + х + 20° = 180°; 2х = 160°;

х = 80°. Оскільки ∠BOC = 80°, ∠AOB = 100°.

∠MON = ∠MOB + ∠BON, ∠BON = ∠BOC – ∠CON = 80° – 40° = 40°.

Тоді ∠MON = 40° + 40° = 80°, бо MO не перпендикулярний ON.

г) ∠DOC = 23∠AOB, ∠AOB : ∠BOC = 1 : 2, ∠AOM – ∠BOM = 24°.

У підручнику помилка — в умові немає букви D, тому розв’язати

неможливо.