Вправи: 790

790. У трикутнику центри вписаного й описаного кіл збігаються.

Доведи, що цей трикутник рівносторонній.

Дано: ∆АВС; центри вписаного і описаного кіл збігаються. Довести: ∆АВС – рівносторонній.

Доведення

В ∆ОКВ і ∆ОРВ:

1) ∠ОКВ = ∠ОРВ = 90° – за властивістю описаного кола;

2) ∠КВО = ∠ОРВ – за властивістю вписаного кола;

3) ВО – спільна сторона.

Отже, ∆ОКВ = ∆ОРВ – за гіпотенузою і гострим кутом.

Тоді ВК = ВР як відповідні сторони рівних трикутників.

Аналогічно доводиться, що ВР = СР; СР = СМ; СМ = АМ; АМ = АК. Звідси АВ = ВС = АС; ∆АВС – рівносторонній.