Вправи: 559

559. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності рівнобедрених трикутників: а) за основою і прилеглим кутом; б) за основою і протилежним кутом; в) за бічною стороною і кутом при основі.

а) Якщо основа і прилеглий до неї кут одного рівнобедреного трикутника дорівнюють основі і прилеглому до неї куту другого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні.Нехай АВ = ВС, А1В1 = В1С1, АС = А1С1, ∠А = А1. Оскільки АС = А1С1 – за умовою, ∠А = ∠А1 – за умовою, ∠С = ∠С1 – бо ∠С = ∠А, ∠С1 = ∠А1 і ∠А = ∠А1, то ∆АВС = ∆А1В1С1 за другою

рівності трикутників.

б) Якщо основа і прилеглий до неї кут одного рівнобедреного трикутника дорівнюють основі і прилеглому до неї куту другого рівнобедреного трикутника, то такі

трикутники рівні. Нехай АВ = ВС, А₁В₁ = В₁С₁, АС = А₁С₁, ∠В = ∠В₁.

Оскільки ∠В = ∠В₁ – за умовою, тоді ∠А = ∠С = 180°- ∠В2, ∠А₁ = ∠С₁ = 180°- ∠В12, отже ∠А = ∠С = ∠А₁ = ∠С₁.

Враховуючи, що АС = А₁С₁ – за умовою, ∠А = ∠А₁, ∠С = ∠С₁, то за другою ознакою рівності трикутників ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Враховуючи, що АС = А1С1 – за умовою, ∠А = ∠А1, ∠С = ∠С1, то за другою ознакою рівності трикутників ∆АВС = ∆А1В1С1.

в) Якщо бічна сторона і кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнюють бічній стороні і куту при основі другого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні.

Нехай АВ = ВС, А₁В₁ = В₁С₁, АВ = А₁В₁, ∠А = ∠А₁.

Оскільки АВ = А₁В₁, АВ = ВС, А₁В₁ = В₁С₁, то АВ = А₁В₁ = ВС = В₁С₁.

Оскільки ∠А = ∠А₁, ∠А = ∠С, ∠А₁ = ∠С₁, то ∠А = ∠С = ∠А₁ = ∠С₁, тоді ∠В = ∠В₁. ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, ∠В = ∠В₁.