Вправи: 1020

1020. У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, BP  — бісектриса, BP = 5 см. Знайди AC.

Нехай даний ∆ABC, ∠C = 90°, ∠CBA = 60°; BP – бісектриса ∠ABC, BP = 5 см. Знайдемо AC.

Якщо ∠CBA = 60° й BP — бісектриса ∠ABC, то ∠CBP = ∠PBA = ∠CBA : 2 = 60°: 2 = 30°.

У ∆BCP ∠C = 90°, ∠CBP = 30°, тоді CP = BP: 2 = 5 : 2 = 2,5 см. У ∆BPA ∠PBA = 30° і ∠A = 30° (за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника, якщо ∠CBA = 60°, то ∠A = 90° – 60° = 30°). Значить, він рівнобедрений, отже, BP = PA = 5 см.

Тоді AC = CP + PA = 2,5 + 5 = 7,5 см.

Відповідь: 7,5 см.