Вправи: 962

962. У прямокутний трикутник ABC із прямим кутом В, C вписане коло, яке дотикається до катетів у точках M і N. Доведіть, що відрізки CM і CN дорівняють радіусу кола (мал. 494).

Центр вписаного у трикутник кола міститься у точці перетину бісектрис його кутів, тому ОС – бісектриса кута MCN і ∠MCO = ∠NCO= = 90° : 2 = 45°. Провівши радіуси OM і ON у точках дотику, за властивістю дотичних маємо, що ON ⊥ AC, OM ⊥ BC. Pозглянемо прямокутний трикутник OMC: ∠MOC = 90° – 45° = 45°. Tоді трикутник OMC – рівнобедрений, звідки CM = OM і дорівнюють радіусу вписаного кола. Aналогічно можна показати, що CN = ON.