Вправи: 865

865. Кут ВАС, утворений дотичними AB і AC до даного кола, дорівнює 60°. Знайдіть відстань між точками дотику В і С, якщо:

1) AВ = 4 см; 2) AB + AC = 10 см.

1) оскільки В і C – точки дотику, то ОВ ⊥ АВ, ОС ⊥ AC. Оскільки ОВ = ОС як радіуси, ОА – спільна сторона трикутників АВО й АСО, то

∆АВО = ∆АСО як прямокутні трикутники за катетами гіпотенузою. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому AB = AC. Так як трикутник ABC – рівнобедрений, ∠ВАС = 60°, ∠ABC = ∠АСВ = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°, то трикутник ABC – рівносторонній. Тоді AB = BC = AC. Отже, BC = AB = 4 см;

2) оскільки АВ = ВС = АС (див. п. 1), то ВС = (АВ + АС) : 2 = 10 :

: 2 = 5 (см).

Відповідь: 1) 4 см; 2) 5 см.