Вправи: 864

864. Дотичні до кола утворюють кут 60°. Доведіть, що: 1) відрізок, який сполучає точки дотику, дорівнює довжині дотичної від точки перетину дотичних до точки її дотику: 2) відрізок, який сполучає точку перетину дотичних із центром кола, дорівнює діаметру кола.

1) оскільки B і C – точки дотику, то OB ⊥ AB, OC ⊥ AC. Oскільки OB = OC як радіуси, OA – спільна сторона трикутників ABO й АСО, то ∆АВО = ∆АСО як прямокутні трикутники за катетом і гіпотенузою. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому AB = AC. Так як трикутник ABC – рівнобедрений, ∠ВАС = 60°, ∠ABC = ∠АСВ = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°, то трикутник ABC – рівносторонній. Тоді AB = BC = AC;

2) оскільки В і C – точки дотику, то ОВ ⊥ АВ, ОС ⊥ AC. Оскільки

ОВ = ОС як радіуси, ОА – спільна сторона трикутників АВО й АСО, то ∆АВО = ∆АСО як прямокутні трикутники за катетом і гіпотенузою. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠ОАВ = ∠ОАС = 60° :

: 2 = 30°. З прямокутного трикутника АВО (∠В = 90°, ∠А = 30°) маємо: ОА = 2ОВ, тобто шуканий відрізок дорівнює діаметру кола.