Вправи: 642

642. Доведіть, що коли центр кола, описаного навколо трикутника, належить його стороні, то цей трикутник прямокутний.

Дано: ∆АВС, O – центр описаного кола, O ∈ AC.

Довести: ∆АВС — прямокутний.

Доведення: Нехай ∠C = x. Розглянемо ∆COB — рівнобедрений (ОС = OB — радіуси). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠C = ∠OBC = x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠BOC = 180° – (х + x) = 180° – 2x.

∠AOB і ∠BOC — суміжні. За теоремою про суміжні кути маємо:

∠AOB = 180° – (180° – 2x) = 180° – 180° + 2х = 2x.

Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB — радіуси).

∠OAB = ∠OBA = (180° – 2x) : 2 = 90° – x.

За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC,

∠ABC = (90° – x) + х = 90°. Тобто ∠ABC = 90°, тоді ∆АВС — прямокутний. Доведено.