Вправи: 640

640. У трикутник з кутами 30°, 70° і 80° вписано коло. Знайдіть кути трикутника, вершини якого є точками дотику вписаного кола до сторін даного трикутника.

Даної Коло вписане у ∆ABC. ∠A = 30°, ∠B = 70°,∠C = 80°. N, E,

P — точки дотику.

Знайти: кути ∆NPE.

Розв'язання: Центр кола, вписаного у трикутник,

знаходиться у точці перетину бісектрис. Отже,

AO — бісектриса ∠BAC, тоді ∠NAO = ∠PAO = ∠BAC : 2 = 30° : 2 = 15°.

Аналогічно ОB — бісектриса ∠NBE, тоді

∠NBO = ∠OBE = ∠ABC : 2 = 70° : 2 = 35° і OC — бісектриса ∠ECP, тоді ∠PCO = ∠ECO = ∠PCE : 2 = 80° : 2 = 40°.

За умовою O — центр вписаного кола, тоді за властивістю дотичних

до кола, маємо: ON ⊥ AB, OE ⊥ BС, OP ⊥ AC.

ON = OE = OP — радіуси вписаного кола.

Розглянемо ∆ANO і ∆APO — прямокутні. ∠ANO = ∠APO = 90°,

ON = OP, AO — спільна сторона. Тоді за ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ANO = ∆APO.

Звідси ∠NOA = ∠POA = 90° – 15° = 75°;

∠NOP = ∠NOA + ∠POA = 75° + 75° = 150°.

Розглянемо ∆NOP — рівнобедрений (NO = OP). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо:

∠ONP = ∠OPN = (180° – 150°) : 2 = 15°.

Аналогічно ∠NOE = 110°, ∠EOP = 100°.

∠ENO = ∠OEN = (180° – 110°) : 2 = 35°.

∠OEP = ∠OPE = (180° – 100°) : 2 = 40°.

∠ENP = ∠PNO + ∠ONE, ∠ENP = 15° + 35° = 50°.

∠NPE = ∠NPO + ∠OPE, ∠NPE = 15° + 40° = 55°.

∠NEP = ∠NEO + ∠OEP, ∠NEO = 35° + 40° = 75°.

Відповідь: 50°, 55°, 75°.