Вправи: 641

641. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник ABC, дотикається

до його бічних сторін AB і BC у точках M i N відповідно. Доведіть, що MN ∥ AC.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений, AB = BС.

O — центр вписаного кола у ∆ABC.

M, N — точки дотику.

Довести: MN ∥ AC.

Доведення: За умовою ∆ABC — рівнобедрений

(АB = BС).

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠A = ∠C.

Нехай ∠A = x, ∠C = х. Зa теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ABC = 180° – 2х. O — центр вписаного кола, тоді BO — бісектриса ∠MBN, тоді ∠MBO = ∠OBN = ∠MBN : 2.

∠MBO = ∠NBO = (180° – 2x) : 2 = 90° – x.

MO і NO — радіуси вписаного кола, тоді за властивістю дотичних

до кола маємо: OM ⊥ AB, ON ⊥ BC.

Розглянемо ∆OBM і ∆ONB — прямокутні. ∠OMB = ∠ONB = 90°,

OM = ON, OB — спільна сторона, тоді ∠MOE = ∠NOE.

Розглянемо ∆MOB — прямокутний (∠B = 90°). За властивістю гострих

кутів прямокутного трикутника маємо:

∠MOB = 90° – (90° – х) = 90° – 90° + х = x,

Отже, ∠MOE = ∠NOE = x; ∠MON = 2x.

∆MON — рівнобедрений (ОМ = ON).

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо:

∠OMN = ∠ONM = (180° – 2x) : 2 = 90° – x.

За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠EMB = ∠OMB – ∠OME.

∠EMB = 90° – (90° – x) = 90° – 90° + x = x.

Отже, ∠A = ∠EMB = x (відповідні). За ознакою паралельності прямих

маємо: AC ∥ MN i AB — січна. Доведено.