Вправи: 599

599. Відрізки AB і BC — відповідно хорда й діаметр кола, ∠ABC = 30°. Через точку А проведено дотичну до кола, яка перетинає пряму BC у точці D. Доведіть, що трикутник ABD рівнобедрений.

Нехай дано коло (О;R), AB — хорда,

BC — діаметр, ∠ABC = 30°, AD — дотична, дотична і діаметр перетинаються в т. D. Доведемо, що ∆ABD — рівнобедрений.

Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB = R).

∠ABO = ∠OAB = 30°;

∠ABO + ∠OAB + ∠AOB = 180°;

∠AOB = 180° – (30° + 30°); ∠AOB = 120°.

OA — радіус, проведений в точку дотику, за властивістю дотичної OA ⊥ AD. ∠OAD = 90°.

Розглянемо ∆AOD (∠OAD = 90°).

∠AOB + ∠AOD = 180° (як суміжні).

∠AOD = 180° – 120° = 60°; ∠AOD + ∠ADO = 90°;

∠ADO = 90° – 60° = 30°. Розглянемо ∆ABD. ∠ABD = 30°,

∠ADO = 30°.

Тоді ∆ABD — рівнобедрений з основою BD.