Вправи: 604

604. Прямі, які дотикаються до кола із центром O в точках А і В, перетинаються в точці К, ∠AKB = 120°. Доведіть, що AK + BK = OK.

Нехай дано коло (О; R), пряма а і пряма b — дотичні, т. А і В — точки дотику. Пряма а і пряма b перетинаються в т. K, ∠AKB = 120°. Доведемо, що AK + BK = OK.

OA і OB — радіуси, які проведені в точки дотику, за властивістю

дотичної OA ⊥ AK, OB ⊥ KB.

Розглянемо ∆AKO і ∆BKO.

1) ∠KAO = ∠KBO = 90° (OA ⊥ AK, OB ⊥ BK).

2) AO = OB (як радіуси). 3) KO — спільна.

Отже, ∆AKO = ∆BKO за катетом і гіпотенузою, з цього випливає, що

∠AKO = ∠BKO.

∠AKO = ∠BKO = 12 ∠AKB = 120°: 2 = 60°.

Розглянемо ∆AKO (∠KAO = 90°). ∠AKO + ∠AOK = 90°;

∠AOK – 90° – 60° = 30°. Тоді катет AK y що лежить напроти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи KO. AK = 12KO.

Аналогічно, з ∆KBO (∠KBO = 90°),

KB = 12KO; AK + KB = 12KO + 12КО = KO.