Вправи: 598

598. Пряма AC дотикається до кола із центром O в точці А (рис. 330). Доведіть, що кут ВАС у 2 рази менший від кута AOВ.

Нехай дано коло (О; R), AC — дотична, C — точка дотику.

Доведемо, що ∠AOB = 2 ∠BAC.

OA — радіус, проведений в точку дотику, тоді за властивістю дотичної OA ⊥ AC, ∠OAC = 90°.

Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB = R), тоді

∠OAB = ∠OBA = х.

∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°; ∠AOB = 180° – 2х; ∠OAC = 90°.

∠OAC = ∠OAB + ∠BAC; 90° = х + ∠BAC; ∠BAC = 90° – x.

Отже, ∠AOB = 180° – 2x = 2(90° – x). ∠BAC = 90° – x;

∠AOB = 2∠BAC.