Вправи: 391

391. Через точку O перетину бісектрис AE і CF трикутника ABC провели пряму, паралельну прямій AC. Ця пряма перетинає сторону AB у точці М, а сторону BC — у точці К. Доведіть, що MK = AM + СК.

Дано: ∆ABC; AE — бісектриса ∆АВС;

CF — бісектриса ∆АВС; AE CF = 0.

O ∈ MK; M ∈ AB; K ∈ CB. MK ∥ AC.

Довести: MK = AM + СK.

Доведення:

За умовою AE — бісектриса ∆АВС. За означенням бісектриси кута трикутника маємо: ∠BAO = ∠OAC.

Аналогічно CF — бісектриса ∆ABCf тоді: ∠ACO = ∠OCK.

За умовою MK ∥ AC; AO — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠CAO = ∠AOM. Звідси ∠OAM = ∠MOA.

Тоді ∆АМО — рівнобедрений AM = MO.

Аналогічно MK ∥ AC; OC — січна, тоді ∠ACO = ∠COK (внутрішні різносторонні).

Звідси ∠OCK = ∠COK, тому ∆ОKС — рівнобедрений. OK = KC.

MK = MO + OK; MK = AM + CK.

Доведено.