Вправи: 394

394. Відрізки AC і BD перетинаються в точці О, AB = BC = CD = AD. Доведіть, що AC ⊥ BD.

Дано: AC BD = 0. AB = BC = CD = AD.

Довести: AC ⊥ BD.

Доведення: Розглянемо ∆ADB і ∆CBD.

За умовою AD = AB = CB = CD;

DB — спільна сторона.

За III ознакою рівності трикутників маємо:

∆ADB – ∆CBDy звідси ∠ADB = ∠CBD (як рівні елементи рівних фігур).

Аналогічно ∆ABC = ∆CDB, звідси ∠DAC = ∠ACB.

Розглянемо ∆AOD і ∆COB. AD = BC; ∠DAO = ∠OCB; ∠ODA = ∠OBC.

За II ознакою рівності трикутників маємо: ∆AOD = ∆СОВ. Звідси

DO = OB. ∆DAB — рівнобедрений (AD = AB).

Якщо DO = OB; AO — медіана. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: AO — висота, тоді AO ⊥ DB; AC ⊥ DB.

Доведено.